图的 $k$-细分的安全控制数

设 $G=(V,E)$ 为简单图。$G$ 的控制集是子集 $D\subseteq V$，使得不在 $D$ 中的每个顶点都与 $D$ 中至少一个顶点相邻。$G$ 的最小控制集的基数记为 $\gamma(G)$，即 $G$ 的控制数。如果对于每个 $u\in V-D$，存在顶点 $v\in D$ 使得 $uv \in E$ 且 $D-\{v\}\cup\{u\}$ 是 $G$ 的控制集，则控制集 $D$ 称为 $G$ 的安全控制集。$G$ 的最小安全控制集的基数记为 $\gamma_s(G)$，即 $G$ 的安全控制数。对于任意 $k \in \mathbb{N}$，$G$ 的 $k$-细分是通过将 $G$ 的每条边替换为长度为 $k$ 的路径所构造的简单图 $G^{\frac{1}{k}}$。本文研究 $G$ 的 $k$-细分的安全控制数。