图中距离支配与可分辨性组合的研究

对于 $k \geq 1$，在图 $G=(V,E)$ 中，若 $V\setminus D$ 中的任意顶点到 $D$ 中某顶点的距离至多为 $k$，则顶点集 $D$ 是 $G$ 的距离 $k$-支配集。图 $G$ 的距离 $k$-支配集的最小基数称为距离 $k$-支配数，记为 $\gamma_k(G)$。若有序顶点集 $W=\{w_1,w_2,\ldots,w_r\}$ 满足对 $V\setminus W$ 中任意两个不同顶点 $x$ 和 $y$，存在 $1\leq i\leq r$ 使得 $d_G(x,w_i)\neq d_G(y,w_i)$，则 $W$ 是 $G$ 的一个分辨集。图 $G$ 的分辨集的最小基数称为图 $G$ 的度量维数，记为 $dim(G)$。本文引入距离 $k$-分辨支配集，它是 $V$ 的子集，同时是 $G$ 的距离 $k$-支配集和分辨集。图 $G$ 的距离 $k$-分辨支配集的最小基数称为距离 $k$-分辨支配数，记为 $\gamma^r_k(G)$。我们给出了 $\gamma^r_k(G)$ 的几个界，其中一些用度量维数 $dim(G)$ 和距离 $k$-支配数 $\gamma_k(G)$ 表示。当 $G$ 为路或圈时，我们确定了 $\gamma^r_k(G)$。之后，对 $k\geq 2$，我们刻画了阶为 $n$ 且 $\gamma^r_k(G)$ 等于 $1$、$n-2$ 和 $n-1$ 的连通图。然后，对所有的 $k\geq 2$，我们构造了实现所有可能三元组 $(dim(G),\gamma_k(G),\gamma^r_k (G))$ 的图。随后，我们确定了具有距离 $k$-分辨支配数 $\gamma^r_k(G)=\gamma^r_k\geq 1$ 的图 $G$ 的最大阶，并为任意正整数 $k$ 和 $\gamma^r_k$ 提供了达到该最大阶的图。最后，对 $k\geq 2$，我们建立了 $\gamma^r_k(G)$ 的 Nordhaus-Gaddum 界。