图的度量维数与控制数之间的关系

集合 $W\subseteq V(G)$ 被称为一个分辨集，若对于任意两个不同的顶点 $u,v\in V(G)$，存在 $w\in W$ 使得 $d(u,w)\neq d(v,w)$，其中 $d(x,y)$ 是顶点 $x$ 与 $y$ 之间的距离。图 $G$ 的一个分辨集的最小基数称为 $G$ 的度量维数，记为 $\beta(G)$。本文中，我们证明了在一个 $n$ 阶连通图 $G$ 中，$\beta(G)\leq n-\gamma(G)$，其中 $\gamma(G)$ 是 $G$ 的控制数，并且等式成立当且仅当 $G$ 是一个完全图或一个完全二部图 $K_{s,t}$，$s,t\geq 2$。然后，我们利用 $G$ 的最小度和最大度得到了 $\beta(G)$ 的新界。