关于树的立方的度量维数

设 $G=(V,E)$ 为一连通图，$d_{G}(u,v)$ 为图 $G$ 中顶点 $u$ 与 $v$ 之间的最短距离。集合 $S=\{s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\}\subset V(G)$ 称为 {\em 分辨集}，若对于 $G$ 中所有不同的顶点 $u,v$，均存在元素 $s\in S$ 使得 $d(s,u)\neq d(s,v)$。图 $G$ 的分辨集的最小基数称为 $G$ 的 {\em 度量维数}，记作 $\beta{(G)}$。具有 $\beta{(G)}$ 个顶点的分辨集称为 $G$ 的 {\em 度量基}。度量维数问题旨在寻找图 $G$ 中的度量基，该问题在网络理论、电信、图像处理、模式识别等众多领域有实际应用。本文考虑 {\em 树的立方} $T^{3}=(V, E)$，其中任意两顶点 $u,v$ 相邻当且仅当它们在 $T$ 中的距离小于等于 3。我们确立了 $V$ 的顶点子集成为 $T^{3}$ 分辨集的充分必要条件。这有助于确定 $T^{3}$ 度量维数的紧致上下界。随后，对于某些著名的树的立方，如毛毛虫图、龙虾图、蜘蛛图和 $d$-正则树，我们确立了其度量维数的边界。此外，我们刻画了满足 $\beta{(T^{3})}=\beta{(T)}$ 的树的立方的一些受限族。我们给出了一种构造，表明存在树的立方能够以任何正整数值作为其度量维数。