图的顶点处连通度量维数

图的度量维数 $dim(G)$ 及其若干变体的概念现已得到充分研究。在本文中，我们通过引入 $cdim_G(v)$（图的在顶点 $v$ 处的连通度量维数）来开始对此概念的局部分析，其定义如下：图 $G$ 的一个顶点集 $S$ 称为一个分辨集，如果对于 $G$ 的任意两个不同顶点 $x$ 和 $y$，存在顶点 $z \in S$ 使得在 $G$ 中 $z$ 与 $x$ 的距离不同于 $z$ 与 $y$ 的距离。我们称分辨集 $S$ 是连通的，如果 $S$ 在 $G$ 中诱导出一个连通子图。于是，$cdim_G(v)$ 定义为所有包含顶点 $v$ 的连通分辨集的基数的最小值。图 $G$ 的连通度量维数记为 $cdim(G)$，定义为 $\min\{cdim_G(v): v \in V(G)\}$。注意到对任意顶点 $v$ 有 $1 \le dim(G) \le cdim(G) \le cdim_G(v) \le |V(G)|-1$，我们证明存在一对 $(G,v)$ 使得当 $v$ 在固定图 $G$ 中变化时，$cdim_G(v)$ 取从 $dim(G)$ 到 $|V(G)|-1$ 的所有正整数值。我们刻画了满足 $cdim_G(v) \in \{1, |V(G)|-1\}$ 的图 $G$ 及其顶点 $v$。我们证明 $cdim(G)=2$ 蕴含 $G$ 是平面图，而众所周知存在非平面图 $H$ 满足 $dim(H)=2$。我们还刻画了满足 $cdim(G)=dim(G)$ 的树和单圈图 $G$。我们证明 $cdim(G)-dim(G)$ 可以任意大。我们确定了若干图类的 $cdim(G)$ 和 $cdim_G(v)$。我们进一步考察了顶点或边的删除对连通度量维数的影响。我们以一些开放问题作结。