关于 corona 积图的度量维数

给定连通图 $G$ 的顶点集 $S=\{v_1,v_2,...,v_k\}$，图 $G$ 中顶点 $v$ 相对于 $S$ 的度量表示为向量 $r(v|S)=(d(v,v_1),d(v,v_2),...,d(v,v_k))$，其中 $d(v,v_i)$，$i\in \{1,...,k\}$ 表示 $v$ 与 $v_i$ 之间的距离。如果对于图 $G$ 的任意一对顶点 $u,v$，均有 $r(u|S)\ne r(v|S)$，则 $S$ 是 $G$ 的一个 resolving set。图 $G$ 的度量维数 $dim(G)$ 是 $G$ 的任意 resolving set 的最小基数。设 $G$ 和 $H$ 分别是阶为 $n_1$ 和 $n_2$ 的两个图。corona 积 $G\odot H$ 定义为由 $G$ 和 $H$ 取 $G$ 的一个副本和 $H$ 的 $n_1$ 个副本，并将 $H$ 的第 $i$ 个副本的每个顶点与 $G$ 的第 $i$ 个顶点通过一条边连接而得到的图。对于任意整数 $k\ge 2$，我们由 $G\odot H$ 递归地定义图 $G\odot^k H$ 为 $G\odot^k H=(G\odot^{k-1} H)\odot H$。我们给出了关于 $G\odot^k H$ 的度量维数的若干结果。例如，我们证明给定两个阶分别为 $n_1\ge 2$ 和 $n_2\ge 2$ 的连通图 $G$ 和 $H$，如果 $H$ 的直径至多为二，则 $dim(G\odot^k H)=n_1(n_2+1)^{k-1}dim(H)$。此外，如果 $n_2\ge 7$ 且 $H$ 的直径大于五或 $H$ 是一个圈图，则 $dim(G\odot^k H)=n_1(n_2+1)^{k-1}dim(K_1\odot H)$。