冠积图族中的同时可分辨性

设 ${\cal G}$ 为一个定义在公共顶点集 $V$ 上的图族，并设 $d$ 为定义在每个图 $G\in {\cal G}$ 上的距离。若对于每一个 $G\in {\cal G}$ 以及每一对不同的顶点 $u,v\in V$，均存在 $s\in S$ 使得 $d(s,u)\ne d(s,v)$，则称集合 $S\subset V$ 为 ${\cal G}$ 的一个同时度量生成集。${\cal G}$ 的同时度量维数是满足存在基数为 $k$ 的 ${\cal G}$ 的同时度量生成集的最小整数 $k$。我们研究由冠积图组成的图族的同时度量维数。具体而言，我们关注在每个 $G\in {\cal G}$ 上定义的两种特定距离，即测地距离 $d_G$ 与距离 $d_{G,2}:V\times V\rightarrow \mathbb{N}\cup \{0\}$（定义为 $d_{G,2}(x,y)=\min\{d_{G}(x,y),2\}$）。