论图的邻接维数

度量空间的生成元是空间中点集 $S$，其性质是空间中的每个点都由其到 $S$ 中元素的距离唯一确定。给定简单图 $G=(V,E)$，我们定义距离函数 $d_{G,2}:V\times V\rightarrow \mathbb{N}\cup \{0\}$ 为 $d_{G,2}(x,y)=\min\{d_G(x,y),2\}$，其中 $d_G(x,y)$ 是 $x$ 和 $y$ 之间最短路径的长度，$\mathbb{N}$ 是正整数集。则 $(V,d_{G,2 })$ 是一个度量空间。我们称集合 $S\subseteq V$ 为 $G$ 的 $k$-邻接生成元，如果对于任意两个顶点 $x,y\in V$，存在至少 $k$ 个顶点 $w_1,w_2,...,w_k\in S$ 使得对于每个 $i\in \{1,...,k\}$，有 $$d_{G,2}(x,w_i)\ne d_{G,2}(y,w_i),\; \mbox{for every}\; i\in \{1,...,k\}.$$ 最小基数的 $k$-邻接生成元称为 $G$ 的 $k$-邻接基，其基数称为 $G$ 的 $k$-邻接维数。本文研究求图的 $k$-邻接维数问题。我们给出了任意图 $G$ 存在 $k$-邻接基的一些充分必要条件，并获得了关于 $k$-邻接维数的一般性结果，包括一般界限和某些图族的闭式公式。特别地，我们根据 $G$ 和 $H$ 的 $k$-邻接维数，得到了联图 $G+H$ 的 $k$-邻接维数的闭式公式。这些结果涉及 $k$-度量维数，因为联图的直径为 2。正如预期，所得结果将成为研究字典积图和冠积图的 $k$-度量维数的重要工具。