图的k-度量维数：一种通用方法

设$(X,d)$为一个度量空间。集合$S\subseteq X$被称为$X$的一个$k$-度量生成集，当且仅当对于任意一对不同的点$u,v\in X$，存在至少$k$个点$w_1,w_2, \ldots w_k\in S$使得$d(u,w_i)\ne d(v,w_i),\; \mbox{\rm for all}\; i\in \{1, \ldots k\}$。设$\mathcal{R}_k(X)$为$X$的度量生成集的集合。$(X,d)$的$k$-度量维数$\dim_k(X)$定义为$$\dim_k(X)=\inf\{|S|:\, S\in \mathcal{R}_k(X)\}.$$此处，我们讨论$(V,d_t)$的$k$-度量维数，其中$V$是一个简单图$G$的顶点集，度量$d_t:V\times V\rightarrow \mathbb{N}\cup \{0\}$由$G$中的测地距离$d$和一个正整数$t$定义为$d_t(x,y)=\min\{d(x,y),t\}$。情形$t\ge D(G)$（其中$D(G)$表示$G$的直径）对应于原始的$k$-度量维数理论，而情形$t=2$对应于$k$-邻接维数理论。此外，该方法允许我们将$k$-度量维数理论推广到未必连通图的一般情形。