图族的同时度量维数

若 $d_G(v,x)\ne d_G(v,y)$，则称顶点 $v\in V$ 分辨两个顶点 $x$ 和 $y$。若 $G$ 的任意一对顶点都被 $S$ 中某个元素分辨，则称集合 $S\subset V$ 为 $G$ 的一个度量生成集。最小的度量生成集称为度量基，其基数 $\dim(G)$ 称为 $G$ 的\emph{度量维数}。对于定义在同一（带标号）顶点集上的图族 ${\cal G}=\{G_1,G_2,\ldots,G_k\}$，若 $S\subseteq V$ 是该族中每个图的度量生成集，则称其为同时度量生成集。基数最小的同时度量生成集称为同时度量基，其基数称为 ${\cal G}$ 的同时度量维数。我们对一般图族给出了该不变量的紧界，并计算了若干特定图族同时度量维数的闭式公式或紧界。对给定图 $G$，我们描述了一种过程，用于获得包含 $G$ 且同时度量维数等于 $\dim(G)$ 的图族中图的最大数量的下界。我们证明了求树族的同时度量维数问题是 $NP$-困难的。建立了树的同时度量维数的紧上界。考虑了通过一系列连续边交换由初始树得到的树族求该不变量的问题，对此类树族建立了同时度量维数的紧上下界。