图族的同时强度量维数

设 ${\cal G}$ 为定义在公共（标记）顶点集 $V$ 上的图族。如果集合 $S\subset V$ 是该族中每个图的强度量生成集，则称 $S$ 为 ${\cal G}$ 的同时强度量生成集。${\cal G}$ 的所有同时强度量生成集中的最小基数记为 $Sd_s({\cal G})$，称为 ${\cal G}$ 的同时强度量维数。我们获得了关于任意图族 $Sd_s({\cal G})$ 的一般性结果，特别强调了由一个图及其补图组成的图族情况。特别是，我们证明了即使限制在树图族上，寻找图族的同时强度量维数问题也是 $NP$-hard 的。