图的分式 $k$-截断度量维数

图 $G$ 的度量维数 $\dim(G)$ 与分式度量维数 $\dim_f(G)$ 已被广泛研究。设 $G$ 为具有顶点集 $V(G)$ 的图，并令 $d(x,y)$ 表示 $G$ 中最短 $x-y$ 路径的长度。设 $k$ 为正整数。对任意 $x,y \in V(G)$，令 $d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$ 且令 $R_k\{x,y\}=\{z\in V(G): d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。集合 $S \subseteq V(G)$ 是 $G$ 的\emph{$k$-截断分辨集}，若对任意相异 $x,y\in V(G)$ 有 $|S \cap R_k\{x,y\}| \ge 1$，而 $G$ 的\emph{$k$-截断度量维数} $\dim_k(G)$ 为所有 $k$-截断分辨集的最小基数。对定义在 $V(G)$ 上的函数 $g$ 及 $U \subseteq V(G)$，令 $g(U)=\sum_{s\in U}g(s)$。实值函数 $g:V(G) \rightarrow[0,1]$ 是 $G$ 的\emph{$k$-截断分辨函数}，若对任意相异 $x, y\in V(G)$ 有 $g(R_k\{x,y\}) \ge 1$，而 $G$ 的\emph{分式 $k$-截断度量维数} $\dim_{k,f}(G)$ 为 \min\{g(V(G)): g \mbox{ 是 } G \mbox{ 的 k-截断分辨函数}\}。注意若 $k$-截断分辨函数的陪域限制为 $\{0,1\}$，则 $\dim_{k,f}(G)$ 退化为 $\dim_k(G)$；若 $k$ 不小于 $G$ 的直径，则 $\dim_{k,f}(G)=\dim_f(G)$。本文研究图的分式 $k$-截断度量维数。对任意阶 $n\ge2$ 的连通图 $G$，我们证明 $1 \le \dim_{k,f}(G) \le \frac{n}{2}$；并分别刻画了满足 $\dim_{k,f}(G)$ 等于 $1$ 与 $\frac{n}{2}$ 的 $G$。我们考察了若干图类的 $\dim_{k,f}(G)$。我们还展示了存在非同构图 $G$ 与 $H$ 使得 $\dim_k(G)=\dim_k(H)$ 且 $\dim_{k,f}(G)\neq \dim_{k,f}(H)$，并考察了 $\dim(G)$、$\dim_f(G)$、$\dim_k(G)$ 与 $\dim_{k,f}(G)$ 间的关系。我们以若干开放问题结束本文。