图的分式 $k$-度量维数

设 $G$ 为具有顶点集 $V(G)$ 的图。对于 $G$ 的任意两个不同顶点 $x$ 和 $y$，令 $R\{x, y\}$ 表示满足在 $G$ 中从 $x$ 到 $z$ 的距离不等于从 $y$ 到 $z$ 的距离的顶点 $z$ 的集合。对于定义在 $V(G)$ 上的函数 $g$ 以及 $U \subseteq V(G)$，令 $g(U)=\sum_{s \in U}g(s)$。令 $\kappa(G)=\min\{|R\{x,y\}|: x\neq y \mbox{ 且 } x,y \in V(G)\}$。对于任意实数 $k \in [1, \kappa(G)]$，实值函数 $g: V(G) \rightarrow [0,1]$ 称为 $G$ 的 \emph{$k$-分辨函数}，如果对于 $G$ 中任意两个不同顶点 $x,y \in V(G)$ 有 $g(R\{x,y\}) \ge k$。$G$ 的 \emph{分式 $k$-度量维数} $\dim^k_f(G)$ 定义为 \min\{g(V(G)): g \mbox{ 是 } G \mbox{ 的 k-分辨函数}\}。在本文中，我们开启了图的分式 $k$-度量维数的研究。对于连通图 $G$ 和 $k \in [1, \kappa(G)]$，易见 $k \le \dim_f^k(G) \le \frac{k|V(G)|}{\kappa(G)}$；我们分别刻画了满足 $\dim_f^k(G)=k$ 和 $\dim_f^k(G)=|V(G)|$ 的图 $G$。我们证明了对任意 $k \in [1, \kappa(G)]$ 有 $\dim_f^k(G) \ge k \dim_f(G)$，并给出一个例子表明对某些 $k \in (1, \kappa(G)]$ 差值 $\dim_f^k(G)-k\dim_f(G)$ 可以任意大；我们还描述了 $\dim_f^k(G)=k\dim_f(G)$ 成立的条件。我们确定了某些图类的分式 $k$-度量维数，并以两个开放问题作结，包括 $\phi(k)=\dim_f^k(G)$ 是否在每个连通图 $G$ 上是 $k$ 的连续函数。