关于图的边维数与分数边维数

设 $G$ 为具有顶点集 $V(G)$ 与边集 $E(G)$ 的图，并令 $d(u,w)$ 表示 $G$ 中 $u-w$ 测地线的长度。对任意 $v\in V(G)$ 与 $e=xy\in E(G)$，令 $d(e,v)=\min\{d(x,v),d(y,v)\}$。对不同的 $e_1, e_2\in E(G)$，令 $R\{e_1,e_2\}=\{z\in V(G):d(z,e_1)\neq d(z,e_2)\}$。Kelenc 等人 [Discrete Appl. Math. 251 (2018) 204-220] 引入了图的边维数：若对任一对不同的 $e_1, e_2\in E(G)$ 有 $|S\cap R\{e_1,e_2\}|\ge 1$，则顶点子集 $S\subseteq V(G)$ 是 $G$ 的一个边分辨集，而 $G$ 的边维数 $edim(G)$ 为 $G$ 的所有边分辨集中最小的基数。对定义在 $V(G)$ 上的实值函数 $g$ 及 $U\subseteq V(G)$，令 $g(U)=\sum_{s\in U}g(s)$。若对任一对不同的 $e_1,e_2\in E(G)$ 有 $g(R\{e_1,e_2\})\ge1$，则 $g:V(G)\rightarrow[0,1]$ 是 $G$ 的一个边分辨函数。$G$ 的分数边维数 $edim_f(G)$ 为 $\min\{g(V(G)):g\mbox{ 是 }G\mbox{ 的边分辨函数}\}$。注意若边分辨函数的陪域限制为 $\{0,1\}$，则 $edim_f(G)$ 退化为 $edim(G)$。我们引入并研究分数边维数，并获得关于图边维数的一些一般性结果。我们证明在同一顶点集上存在两个具有相同的边度量坐标的非同构图。我们构造两个图 $G$ 与 $H$ 使得 $H \subset G$，且 $edim(H)-edim(G)$ 与 $edim_f(H)-edim_f(G)$ 均可任意大。我们证明满足 $edim(G)=2$ 的图 $G$ 不可能以 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 作为子图，并构造一个满足 $edim(H)=2$ 的非平面图 $H$。易见对任意阶为 $n\ge3$ 的连通图 $G$，有 $1\le edim_f(G) \le \frac{n}{2}$；我们刻画满足 $edim_f(G)=1$ 的图 $G$，并考察若干满足 $edim_f(G)=\frac{n}{2}$ 的图类。我们还确定了若干图类的分数边维数。