图中监控边测地集的界与极值图

图 $G$ 的监控边测地集，或简称 MEG-集，是一个顶点子集 $M \subseteq V(G)$，使得对于图 $G$ 的任意边 $e$，$e$ 都位于某对 $u, v \in M$ 之间的每一条最短 $u$-$v$ 路径上。图 $G$ 的监控边测地数，记为 $meg(G)$，是此类 MEG-集的最小基数。该概念为网络监控问题提供了一个图论模型。在本文中，我们将 $meg(G)$ 与源于网络监控问题的一些其他图论参数进行了比较，并提供了具有这些参数指定值的图的示例。我们还刻画了以 $V(G)$ 为其最小 MEG-集的图 $G$，这解决了 Foucaud \textit{et al.} (CALDAM 2023) 提出的一个开放问题，并证明了某些图类属于该刻画。我们还根据稀疏图的围长给出了 $meg(G)$ 的一般上界，随后利用 $G$ 的色数对该上界进行了细化。我们考察了 $meg(G)$ 在两种基本图运算下的变化：团和与细分。在这两种情况下，我们都给出了可能变化量的下界和上界，并提供了（几乎）紧致的示例。