关于度量维数与直径的极值图论

若连通图 $G$ 中的每个顶点均由其到顶点集 $S$ 中各顶点的距离向量唯一确定，则称顶点集 $S$ \emph{分辨} 该图 $G$。图 $G$ 的\emph{度量维数}是其分辨集的最小基数。设 $\mathcal{G}_{\beta,D}$ 为度量维数为 $\beta$ 且直径为 $D$ 的图构成的集合。众所周知，$\mathcal{G}_{\beta,D}$ 中图的最小阶数恰好为 $\beta+D$。本文的第一个贡献是对所有 $\beta$ 和 $D$ 的取值，刻画了 $\mathcal{G}_{\beta,D}$ 中阶数为 $\beta+D$ 的图。此类刻画此前仅在 $D\leq2$ 或 $\beta\leq1$ 时已知。第二个贡献是确定了所有 $D$ 和 $\beta$ 取值下 $\mathcal{G}_{\beta,D}$ 中图的最大阶数。此前仅已知一个较弱的上界。