关于图的笛卡尔幂的度量维数

若图中的每个顶点都能由其到顶点集 $S$ 中顶点的距离向量唯一确定，则称顶点集 $S$ 分辨该图。图的度量维数是其分辨集的最小基数。固定一个具有 $q \ge 2$ 个顶点的连通图 $G$，并令 $M$ 为 $G$ 的距离矩阵。我们证明：若存在 $w \in \mathbb{Z}^q$ 使得 $\sum_i w_i = 0$，且向量 $Mw$ 在将其坐标排序后构成具有非零公差的等差数列，则 $G$ 的 $n$ 个拷贝的笛卡尔积的度量维数为 $(2+o(1))n/\log_q n$。在 $G$ 为完全图的特例中，我们的结果弥合了归于 Erd\H{o}s 和 R\'enyi 的下界与随后由 Lindstr\"om、Chv\'atal、Kabatianski、Lebedev 和 Thorpe 发展的上界之间的差距。