边度量维数小于度量维数的图

给定连通图 $G$，$G$ 的度量（相应地，边度量）维数是能够借助到该集合的距离向量唯一确定 $G$ 中每一对不同顶点（相应地，边）的最小有序顶点集的基数。本文解决了关于图的（边）度量维数的三个公开问题。具体而言，我们证明了对任意 $r,t\ge 2$ 且 $r\ne t$，存在 $n_0$，使得对任意 $n\ge n_0$，存在一个阶为 $n$、度量维数为 $r$ 且边度量维数为 $t$ 的图 $G$；这一结论除其他推论外，表明存在无穷多个边度量维数严格小于其度量维数的图。此外，我们还证明了不可能用 $G$ 的度量维数的某个常数因子来界定图 $G$ 的边度量维数。