图的度量维数与区分数之间的联系

在本文中，我们引入图论中两个经典概念之间的联系：度量维数与区分数。对于给定图 $G$，设 ${\rm dim}(G)$ 和 $D(G)$ 分别表示其度量维数和区分数。我们证明，在连通图中，任何分辨集都会打破图中的对称性。具体而言，若 $G$ 是具有分辨集 $S=\{v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ 的连通图，则 $\{\{v_1\}, \{v_2\}, \ldots, \{v_n\}, V(G)\setminus S \}$ 是 $V(G)$ 的一个区分着色划分，由此可得 $D(G)\leq {\rm dim}(G)+1$。此外，对于所有满足 $1\leq n< m$ 的 $n$ 和 $m$ 值，我们构造了满足 $D(G)=n$ 且 ${\rm dim}(G)=m$ 的图 $G$。利用这一联系，我们刻画了所有阶为 $n$ 且 $D(G) \in \{n-1, n-2\}$ 的图 $G$。对于任意图 $G$，若 $G$ 连通则令 $G_c = G$，若 $G$ 不连通则令 $G_c = \overline{G}$。令 $G^{\ast}$ 表示由 $G$ 通过将具有相同开邻域或闭邻域的任意极大顶点集收缩为一个顶点而得到的孪生图。设 {\rsfs F} 为除满足 ${\rm dim}(G_c)=|V(G)|-4$、${\rm diam}(G_c) \in \{2, 3\}$ 且 $5\leq |V(G_{c}^{\ast})| \leq 9$ 性质的图 $G$ 之外的所有图的集合。我们刻画了所有满足 $D(G)= n-3$ 的图 $G \in$ {\rsfs F}。