图的距离-k维数

图 $G$ 的度量维数 $\dim(G)$ 是一个受机器人导航启发而被广泛研究的图参数。设 $G$ 为顶点集 $V(G)$ 的图，$d(x,y)$ 表示 $G$ 中最短 $x-y$ 路的长度。对正整数 $k$ 及相异的 $x,y \in V(G)$，令 $d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$，并令 $R_k\{x,y\}=\{z\in V(G): d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。若对任意相异的 $x,y \in V(G)$ 均有 $|S \cap R_k\{x,y\}| \ge 1$，则称子集 $S\subseteq V(G)$ 为 $G$ 的距离-$k$ 分辨集；图 $G$ 的距离-$k$ 维数 $\dim_k(G)$ 为所有距离-$k$ 分辨集中的最小基数。本文研究图的距离-$k$ 维数。我们得到了距离-$k$ 维数的一些一般界。对所有 $k \ge 1$，我们刻画了阶为 $n$ 且 $\dim_k(G) \ge n-2$ 的连通图 $G$。当 $G$ 为圈或路时，我们确定了 $\dim_k(G)$。我们还考察了顶点或边的删除对图的距离-$k$ 维数的影响。