关于 Hamming 图的弱 $k$-度量维数

给定一个连通图 $G$，如果对于任意两个顶点 $y,z\in V(G)$，所有 $x\in X$ 上的值 $|d_G(y,x)-d_G(z,x)|$ 之和至少为 $k$，其中 $d_G(u,v)$ 表示 $u$ 和 $v$ 之间最短路径的长度，则顶点集 $X\subset V(G)$ 是 $G$ 的一个弱 $k$-分辨集。$G$ 的最小弱 $k$-分辨集的基数称为 $G$ 的弱 $k$-度量维数，记为 $\mathrm{wdim}_k(G)$。本文对所有 $n\ge 3$ 和所有 $2\le k\le 2n$ 确定了 $\mathrm{wdim}_k(K_n\,\square\,K_n)$。针对图 $K_n\,\square\,K_m$，本文开发并实现了一种用于该问题的已知整数线性规划公式的改进方法。并针对这些一般情形提出了若干猜想。