利用距离监控乘积网络的边

Foucaud 等人近期引入并开启了网络监控领域中一个新的图论概念的研究。设 $G$ 为顶点集 $V(G)$ 的图，$M$ 为 $V(G)$ 的子集，$e$ 为 $E(G)$ 中的一条边，令 $P(M, e)$ 为满足 $d_G(x, y)\neq d_{G-e}(x, y)$ 的对 $(x,y)$ 的集合，其中 $x\in M$ 且 $y\in V(G)$。若 $G$ 的每条边 $e$ 均被 $M$ 中某顶点监控，即集合 $P(M, e)$ 非空，则称 $M$ 为\emph{距离边监控集}。$G$ 的\emph{距离边监控数}记为 $\operatorname{dem}(G)$，定义为 $G$ 的距离边监控集的最小基数。对于阶分别为 $m,n$ 的两个图 $G,H$，本文证明 $\max\{m\operatorname{dem}(H),n\operatorname{dem}(G)\} \leq\operatorname{dem}(G\,\Box \,H) \leq m\operatorname{dem}(H)+n\operatorname{dem}(G) -\operatorname{dem}(G)\operatorname{dem}(H)$，其中 $\Box$ 为笛卡尔积运算。此外，我们刻画了达到上下界的图，并展示了其在若干已知网络上的应用。我们还得到了联图、冠图、簇图及一些特定网络的距离边监控数。