图中四个网络监控参数及其间隙

设 $G$ 为有限简单无向图。与网络监控相关的四个图参数分别为测地集、边测地集、强边测地集和监控边测地集，其对应的最小尺寸分别记为 $g(G)$、$eg(G)$、$seg(G)$ 和 $meg(G)$。这些参数在逐步严格的基于路径的条件下，量化了监控图 $G$ 中所有顶点和边所需的最少顶点数。如 Florent 等人（CALDAM 2023）所建立的，这些参数满足不等式链：$g(G) \leq eg(G) \leq seg(G) \leq meg(G)$。2025年，Florent 等人提出了以下问题：给定满足 $2 \leq a \leq b \leq c \leq d$ 的整数 $a, b, c, d$，是否存在一个图 $G$ 使得 $g(G) = a$、$eg(G) = b$、$seg(G) = c$ 且 $meg(G) = d$？他们在三个特定假设下给出了部分肯定回答，并提供了一些构造来支持它。在本文中，我们首先确定了无法由任何连通图实现的四元组。对于所有剩余的可行四元组，我们提供了实现指定参数的连通图的显式构造。这些构造是模块化的且高效的，顶点数和边数随最大参数线性增长，从而给出了此类可实现四元组的完整且构造性的刻画。