图的广播维数

本文中我们开创了广播维数的研究,它是度量维数的一种变体。设 $G$ 为顶点集 $V(G)$ 的图,令 $d(u,w)$ 表示 $G$ 中一条 $u-w$ 测地线的长度。对 $k \ge 1$,令 $d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$。函数 $f: V(G) \rightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ 称为 $G$ 的一个分辨广播,如果对任意不同的 $x,y \in V(G)$,存在顶点 $z \in V(G)$ 使得 $f(z)=i>0$ 且 $d_{i}(x,z) \neq d_{i}(y,z)$。图 $G$ 的广播维数 $bdim(G)$ 是所有分辨广播上 $c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$ 的最小值,其中 $c_f(G)$ 可视为用于分辨由图 $G$ 描述的整个网络中所用发射器(具有不同强度)的总代价。注意若分辨广播的陪域限制为 $\{0,1\}$,则 $bdim(G)$ 退化为 $adim(G)$($G$ 的邻接维数,由 Jannesari 和 Omoomi 于 2012 年引入)。我们确定了圈、路及其他图族的该值。我们证明对所有阶为 $n$ 的图 $G$ 有 $bdim(G) = \Omega(\log{n})$,且结果在常数因子内是紧的。我们表明 $\frac{adim(G)}{bdim(G)}$ 与 $\frac{bdim(G)}{dim(G)}$ 均可任意大,其中 $dim(G)$ 表示 $G$ 的度量维数。我们还考察了顶点删除对图的邻接维数与广播维数的影响。