网格图与有向图的邻接维数与广播维数

设 $G$ 为一个简单无向图。函数 $f : V(G) \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 是 $G$ 的一个 $\textit{分辨广播}$（resolving broadcast），如果对任意不同的 $x, y \in V(G)$，存在顶点 $z \in V(G)$ 满足 $f(z) > 0$ 使得 $\min \{ d(z, x), f(z)+1 \} \neq \min \{ d(z, y), f(z)+1 \}$。$G$ 的 $\textit{广播维数}$ $\text{bdim}(G)$ 为在所有分辨广播 $f$ 上 $\sum_{v \in V(G)} f(v)$ 的最小值。类似地，$G$ 的 $\textit{邻接维数}$ $\text{adim}(G)$ 为在所有取值于 $\{0,1\}$ 的分辨广播 $f$ 上 $\sum_{v \in V(G)} f(v)$ 的最小值。通过考虑有向距离，这些参数对有向图有类似定义。我们部分解决了Zhang的一个问题，获得了某些路图笛卡尔积的邻接维数的精确界，即 $\text{adim}(P_2 \square P_n)$ 与 $\text{adim}(P_3 \square P_n)$。此外，我们研究了邻接维数与广播维数在有向图上的行为。首先，我们显式计算了有向完全 $k$ 叉树的邻接维数，其中每条边都指向叶子。接着，我们证明了对某些特定有向树 $\vec{G}$ 有 $\text{adim}(\vec{G}) = \text{bdim}(\vec{G})$。进一步，我们表明 $\text{bdim}(G)$ 可以大到 $\text{bdim}(\vec{G})$ 的指数函数，或小到 $\text{bdim}(\vec{G})$ 的对数函数。