有向无环图的距离与分层

无向无权重图 $G=(V,E)$ 的直径是从任意顶点 $u$ 到另一顶点 $v$（$u,v \in V$）距离的最大值，其中距离即 $d(u,v)$ 为 $G$ 中从 $u$ 到 $v$ 的最短路径长度。DAG 是无环有向图。我们用 $\delta (G)$ 表示无权重 DAG $G=(V,E)$ 的直径。DAG $G$ 的伸展度是对所有 $(u, v) \in V$ 从 $u$ 到 $v$ 的最长路径长度，记为 $\Delta (G)$。无向图直径可通过执行 $|V|$ 次广度优先搜索在 $O(|V|(|V|+|E|))$ 时间内算出。我们证明 DAG 的伸展度与直径可分别在 $O(|V|+|E|)$ 时间与 $O(|V||E|)$ 时间内算出。若对所有顶点可一致地赋予层号，则 DAG 是平衡的。分层即指此种赋值。我们定义了平衡 DAG。设计了一种高效算法，运行时间 $O(|V|+|E|)$，可检测给定 DAG 是否不平衡，否则对其分层。\ 关键词：直径，有向无环图，最长有向路径，图算法，复杂性。