关于图的广播维数

函数 $f:V(G)\rightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ 是图 $G$ 的一个分辨广播(resolving broadcast)，如果对于任意不同的 $x,y\in V(G)$，存在顶点 $z\in V(G)$ 满足 $f(z)>0$ 使得 $\min\{d(x,z), f(z)+1\} \neq \min\{d(y,z), f(z)+1\}$。图 $G$ 的广播维数在所有分辨广播 $f$ 上取 $\sum_{v\in V(G)}f(v)$ 的最小值。广播维数这一概念由 Geneson 和 Yi 作为度量维数(metric dimension)的变体引入，并在网络发现和机器人导航等领域有应用。本文中，我们推导了无环图在顶点数上的渐近紧下界，并证明了 Geneson 和 Yi 关于一般图在邻接维数(adjacency dimension)下广播维数的下界是渐近紧的。我们还研究了删去一条边时图广播维数的变化。我们证明了图在边删除下广播维数的加性增加和减少都是无界的。此外，我们证明了在边删除下，任何图的广播维数最多以 3 的乘性因子增加。这些结果完整回答了 Geneson 和 Yi 提出的三个问题。