树中的下边界独立广播

连通图 $G=(V,E)$ 上的广播是一个函数 $f:V\rightarrow \{0,1,\dots,\operatorname{diam}(G)\}$，满足对所有 $v\in V$（当 $|V|\geq2$ 时）有 $f(v)\leq e(v)$（$v$ 的离心率），且当 $V=\{v\}$ 时 $f(v)=1$。$f$ 的代价为 $\sigma(f)=\sum_{v\in V}f(v)$。令 $V_{f}$ 表示满足 $f(v)$ 为正的顶点集合。若距离 $d(u,v)\leq f(v)$，则顶点 $u$ 从 $v\in V_{f}^{+}$ 听到 $f$。当 $f$ 是一个广播，且每个从 $V_{f}^{+}$ 中多于一个顶点听到 $f$ 的顶点 $x$ 也满足对所有 $u\in V_{f}^{+}$ 有 $d(x,u)\geq f(u)$ 时，称该广播仅在边界处重叠。若广播 $f$ 仅在边界处重叠，则称其为边界独立广播。记 $i_{\operatorname{bn}}(G)$ 为极大边界独立广播的最小代价。我们得到了极大边界独立广播的刻画，证明了对于树 $T$ 的任意子树 $T^{\prime}$ 有 $i_{\operatorname{bn}}(T^{\prime})\leq i_{\operatorname{bn}}(T)$，并给出了 $i_{\operatorname{bn}}(T)$ 关于 $T$ 的广播支配数的上界。我们证明了该上界对一类无限树类是紧的。