计算无限网格上 (t,r) 广播最优密度的上界

具有顶点集 $V$ 的有限图 $G$ 的支配数是指满足如下条件的最小集合 $S\subseteq V$ 的基数：对每个顶点 $v\in V$，要么 $v\in S$，要么 $v$ 与 $S$ 中某顶点相邻。满足这些条件的集合 $S$ 称为支配集。2015 年，Blessing、Insko、Johnson 和 Mauretour 引入了 $(t,r)$ 广播支配，这是以非负整数 $t$ 和 $r$ 为参数的图支配的推广。在此设定下，我们称顶点 $v\in V$ 从位于顶点 $T$ 的强度为 $t$ 的塔接收的信号定义为 $sig(v,T)=max(t-dist(v,T),0)$。于是，$G$ 上的 $(t,r)$ 广播支配集是一个集合 $S\subseteq V$，使得每个顶点 $v \in V$ 处接收的所有信号之和至少为 $r$。在本文中，我们考虑无限网格上的 $(t,r)$ 广播，并给出一个 Python 程序来计算无限网格上 $(t,r)$ 广播最小密度的上界。这些上界使我们能够构造反例，反驳 Blessing 等人关于当 $t,r\geq 1$ 时 $(t,r)$ 与 $(t+1, r+2)$ 广播相等的猜想。