论网格的 (t,r) 广播控制数

图 $G = (V,E)$ 的控制数是满足以下条件的任意子集 $S \subset V$ 的最小基数：$V$ 中的每个顶点要么属于 $S$，要么与 $S$ 中的某个元素相邻。求解 $m \times n$ 网格的控制数曾是一个悬而未决近 30 年的公开问题，最终于 2011 年由 Goncalves、Pinlou、Rao 和 Thomass\'e 解决。图上控制数的许多变体已被定义和研究，但尚未得到网格的精确值。我们将定义一族由正整数对 $(t,r)$（其中 $1 \leq r \leq t$）参数化的控制理论，推广了图的常规控制与距离控制理论。我们将这些控制数称为 $(t,r)$ 广播控制数。我们给出了小网格的 $(t,r)$ 广播控制数的精确值，并确定了大网格的 $(t,r)$ 广播控制数的上界，同时猜想这些界对于足够大的网格是紧的。