截断正方形铺面图的 (t,r) 广播支配数与密度

对于正整数参数 (t,r)，图 G 中一个顶点子集 T 若对图 G 进行 (t,r) 广播支配，当且仅当对图 G 中的任意顶点 u，都有 $\sum_{v\in T, u\in N_t(v)}(t-d(u,v))\geq r$。其中 $N_{t}(v)=\{u\in V:d(u,v)<t\}$，且 $d(u,v)$ 表示 u 与 v 之间的距离。这可以解释为：图中每个顶点 v 的 T 发送 $\max(t-\text{d}(u,v),0)$ 信号给距离 v 距离为 t-1 以内的顶点。该信号是可累加的，且要求图中每个顶点接收来自 T 中所有顶点的最小接收量 r。对于有限图，(t,r) 广播支配集中最小基数称为 (t,r) 广播支配数。我们指出，(2,1) 广播支配数是支配数，而 (t,1) (t$\geq 1$) 是距离支配数。我们研究的是由截断正方形铺面图族构成的图，这种图作为欧几里得平面上由正方形和正八边形铺满的有限子图。对于正整数 m 和 n，设 $H_{m,n}$ 为由 m 行 n 个正八边形（8 顶点环图）组成的图。对于所有 t$\geq 2$，我们给出 $H_{m,n}$ 的 (t,1) 广播支配数的下界和上界，其中 m,n$\geq 1$。我们给出当 (m,n)$\in\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2)\} 时$H_{m,n}$的确切 (2,1) 广播支配数。我们还考虑无限截断正方形铺面，记为$H_{\infty,\infty}$，并给出 (t,r)$\in\{(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)\} 的无限 (t,r) 广播的构造。借助这些构造，我们给出这些广播密度的上界，即这些广播所需顶点比例。我们以一些未来研究方向作结尾。