$n$ 维网格上 $(t,r)$ 广播支配的界

本文研究图支配的一种变体,称为 $(t, r)$ 广播支配,由 Blessing、Insko、Johnson 和 Mauretour 于 2015 年首次定义。在该变体中,每个广播向距离该广播 $d < t$ 的每个顶点提供 $t-d$ 的接收量。若 $d \ge t$ 则不提供接收量。若顶点从所有广播获得的总接收量达到 $r$,则认为该顶点被支配。我们的主要结果给出了无限网格上 $(t, r)$ 支配模式的密度的若干上界与下界,以及计算它们的方法。此外,当 $r \ge 2$ 时,我们描述了一族反例,否定了将 Vizing 猜想推广到 $(t,r)$ 广播支配的尝试。