有限网格上 (t,2) 广播支配的渐近最优界

设 $G=(V,E)$ 为一图，$t,r$ 为正整数。信号强度为 $t$ 的塔顶点 $T$ 提供给顶点 $v$ 的\emph{信号}定义为 $sig(T,v)=max(t-dist(T,v),0)$，其中 $dist(T,v)$ 表示顶点 $v$ 与 $T$ 之间的距离。2015年，Blessing、Insko、Johnson 和 Mauretour 将图 $G$ 上的\emph{$(t,r)$ 广播支配集}（或简称为\emph{$(t,r)$ 广播}）定义为一个集合 $\mathbb{T}\subseteq V$，使得每个顶点 $v \in V$ 从塔集合 $\mathbb{T}$ 接收到的所有信号之和至少为 $r$。有限图 $G$ 的 $(t,r)$ 广播支配数记为 $\gamma_{t,r}(G)$，是 $G$ 的所有 $(t,r)$ 广播的最小基数。近期研究集中于界定 $m \times n$ 网格图 $G_{m,n}$ 的 $(t,r)$ 广播支配数。2014年，Grez 和 Farina 界定了网格图的 $k$-距离支配数，等价于界定 $\gamma_{t,1}(G_{m,n})$。2015年，Blessing 等人建立了 $\gamma_{2,2}(G_{m,n})$、$\gamma_{3,2}(G_{m,n})$ 和 $\gamma_{3,3}(G_{m,n})$ 的界。在本文中，我们向前推进一步，对所有 $t>2$ 给出了 $\gamma_{t,2}(G_{m,n})$ 的紧上界。我们还证明了 Blessing 等人关于其 $\gamma_{3,2}(G_{m,n})$ 的界对大值 $m$ 和 $n$ 为紧的猜想。