图与树中的边界独立与听觉独立广播

连通图 G（顶点集为 V(G)）上的一个广播是一个函数 $f:V(G)\rightarrow \{0, 1, ..., \text{diam}(G)\}$，使得对所有 $v\in V$ 有 $f(v)\leq e(v)$（v 的离心率）。若 $f(v)>0$，则称顶点 v 为广播顶点，所有此类顶点的集合记为 $V_f^+$。若 $d_G(u, v)\leq f(v)$，则顶点 u 从 $v\in V_f^+$ 处听到 f。若没有广播顶点听到另一个广播顶点，则广播 f 是听觉独立的。此外，若任何从多个广播顶点听到 f 的顶点 u 对所有 $v\in V_f^+$ 满足 $f(v)\leq d_G(u, v)$，则称该广播是边界独立的。f 的代价为 $\sigma(f)=\sum_{v\in V(G)}f(v)$。G 上极大边界独立广播的最小代价称为下 bn-独立数，记为 $i_{bn}(G)$。下 h-独立数 $i_h(G)$ 对听觉独立广播类似定义。我们证明对所有 G 有 $i_{bn}(G)\leq i_h(G)$，并说明 $i_h(G)/i_{bn}(G)$ 有界。对两个参数，我们均证明连通图 G 的下 bn-独立数（h-独立数）等于其生成树中下 bn-独立数（h-独立数）的最小值。我们进一步研究边界独立广播的最大代价，记为 $\alpha_{bn}(G)$。我们证明 $\alpha_{bn}(G)$ 可用独立数 $\alpha(G)$ 界定，并通过从独立集问题到最大 bn-独立广播问题实例的归约证明最大 bn-独立广播问题是 NP-hard 的。出于对毛虫树的特别兴趣，我们研究了当 T 为树时 $\alpha_{bn}(T)$ 关于其阶数及度至少为 3 的顶点数（称为 T 的分支顶点）的界。最后我们描述了一个多项式时间算法来确定给定树 T 的 $\alpha_{bn}(T)$。