有向循环图的广播独立数

2001 年，D. Erwin \cite{Erw01} 在其博士论文中引入了无向图中的广播独立性概念。此后，关于该概念发表了一些结果，但数量不多，包括关于无向循环图广播独立数的研究工作 \cite{LBS23}。在本文中，我们关注同一参数，但针对有向循环图类。有向图 $\overrightarrow{G}$ 上的独立广播是一个函数 $f: V\longrightarrow \{0,\ldots,\diam(\overrightarrow{G})\}$，使得 $(i)$ 对于每个顶点 $v\in V(\overrightarrow{G})$，有 $f(v)\leq e(v)$，其中 $\diam(\overrightarrow{G})$ 表示 $\overrightarrow{G}$ 的直径，$e(v)$ 表示顶点 $v$ 的偏心率；且 $(ii)$ 对于任意满足 $f(u), f(v)>0$ 的不同顶点 $u$, $v$，有 $d_{\overrightarrow{G}}(u,v) > f(u)$，其中 $d_{\overrightarrow{G}}(u,v)$ 表示从 $u$ 到 $v$ 的最短有向路径的长度。$\overrightarrow{G}$ 的广播独立数 $\beta_b(\overrightarrow{G})$ 则是取遍 $\overrightarrow{G}$ 上所有独立广播时 $\sum_{v \in V} f(v)$ 的最大值。本文的目标是研究有向循环图 $\overrightarrow{C}(n;1,a)$ 的独立广播性质，其中 $n$ 和 $a$ 为任意整数，满足 $n>|a|\geq 1$ 且 $a \notin \{1,n-1\}$。随后，我们给出了数 $\beta_b(\overrightarrow{C}(n;1,a))$ 的一些界和一些精确值。