循环图的广播独立数

图 $G$ 上的一个独立广播是一个函数 $f: V \longrightarrow \{0,\ldots,{\rm diam}(G)\}$，满足 $(i)$ 对每个顶点 $v\in V(G)$ 有 $f(v)\leq e(v)$，其中 $\operatorname{diam}(G)$ 表示 $G$ 的直径，$e(v)$ 表示顶点 $v$ 的离心率；以及 $(ii)$ 对任意两个不同顶点 $u$ 和 $v$，若 $f(u)f(v)>0$，则 $d(u,v) > \max \{f(u), f(v)\}$。图 $G$ 的广播独立数 $\beta_b(G)$ 定义为在所有独立广播上 $\sum_{v \in V} f(v)$ 的最大值。我们证明，每个形如 $C(n;1,a)$（$3\le a\le \lfloor\frac{n}{2} \rfloor$）的循环图都允许一个最优的 $2$-有界独立广播，即除 $n=2a+1$ 或 $n=2a$ 且 $a$ 为偶数外，满足对每个顶点 $v$ 有 $f(v)\le 2$ 的独立广播。进而我们确定了此类若干类循环图的广播独立数，并证明对其中大多数类有等式 $\beta_b(C(n;1,a)) = \alpha(C(n;1,a))$ 成立，其中 $\alpha(C(n;1,a))$ 表示 $C(n;1,a)$ 的独立数。