图的量子 k-独立数的谱上界

Cvetković 给出的图 $G$ 的独立数 $\alpha(G)$ 的一个著名上界是 \begin{equation*} \alpha(G) \le n^0 + \min\{n^+ , n^-\} \end{equation*} 其中 $(n^+, n^0, n^-)$ 是 $G$ 的惯性指数。我们证明该界也是量子独立数 $\alpha_q(G)$ 的一个上界，其中 $\alpha_q(G) \ge \alpha(G)$ 且对某些图 $\alpha_q(G) \gg \alpha(G)$。我们识别出大量满足 $\alpha(G) = \alpha_q(G)$ 的图，从而增加了已知 $\alpha_q$ 的图的数量。我们还证明存在一些图，对于 $\alpha(G)$ 和 $\alpha_q(G)$，上述界在任何 Hermitian 权重矩阵下都不精确。最后，我们在量子 $k$-独立数的谱界的更一般背景下展示这一结果，其中 $k$-独立数是成对距离大于 $k$ 的顶点集的最大规模。