图中最大$G$-自由集大小的若干界

对于给定的图$H$，$H$的独立数$\alpha(H)$是$V(H)$的最大独立集的大小。求图的最大独立集是 NP 难问题。独立数的另一版本定义为$H$的最大导出森林的大小，称为$H$的森林数，记为$f(H)$。求$f(H)$也是 NP 难问题。设$H=(V(H),E(H))$为图，$\G$为图族，若存在$V(H)$分解为集合$V_i$，$i=1,2,\ldots,k$，使得对每个$i$有$G\nsubseteq H[V_i]$且$G\in\G$，则称$H$有$\G$-自由$k$-染色。$S\subseteq V(H)$是$G$-自由的，若由$S$导出的$H$的子图是$G$-自由的，即不含$G$的拷贝。求$H$的最大子集使$H[S]$为$G$-自由图也是极难问题。本文研究图独立数的推广版本。给出图的最大$G$-自由子集大小的若干界亦是本文另一目的。