图的奇独立数 I：基础与经典类别

图 $G=(V,E)$ 中的奇独立集 $S$ 是指满足以下条件的顶点集合：对于图中除 $S$ 外的每个顶点 $v \in V \setminus S$，要么 $N(v) \cap S = \emptyset$，要么 $|N(v) \cap S| \equiv 1$ (mod 2)，其中 $N(v)$ 表示顶点 $v$ 的开邻域。图 $G$ 中奇独立集的最大基数记为 $\alpha_{od}(G)$，称为图 $G$ 的奇独立数。这一新参数是最近提出的强奇色数的自然伴生对象。图 $G$ 的proper vertex coloring 若满足：对于图中每个顶点 $v \in V(G)$，其邻域中使用的每种颜色在 $N(v)$ 中出现的次数为奇数，则称为强奇着色。图 $G$ 的强奇着色最少颜色数记为 $\chi_{so}(G)$。一个简单关系式涉及这两个参数以及图 $G$ 的顺序 $|G|：$\alpha_{od}(G)\cdot\chi_{so}(G) \geq |G|$，这与色数与独立数的关系式相同。我们发展了若干基本不等式，涉及$\alpha_{od}(G)$，并利用已存在的强奇着色结果，推导出许多图族的奇独立数的下界。我们证明对所有无爪图$G$都有$\alpha_{od}(G) = \alpha(G^2)$，并借此证明确定$\alpha_{od}(G)$在一般情况下是 NP-hard 的（也包括限于线图的情况）。我们还提出了许多结果，使用各种技术研究循环、路径、莫氏图、Kneser 图、完全细分$S(K_n)$子图$K_n$、半图$H_{n,n}$以及$K_p \Box K_q$的奇独立数。进一步，我们考虑超立方体$Q_d$ 和三角形自由图的补图的奇独立数。本文陈述了许多面向未来研究的开放问题。进一步的相关结果可在本文的第二部分中找到，arXiv: 2510.01897。