奇图细分的奇边着色

奇图是指所有顶点的度数均为奇数的有限图。给定图 $G$ 可分解为 $k$ 个奇子图，如果其边集可以划分为 $k$ 个子集，每个子集均导出 $G$ 的一个奇子图。存在此类分解的最小 $k$ 值称为奇色数指数 $\chi_{o}'(G)$，由 Pyber (1991) 引入。对于每个 $k\geq\chi_{o}'(G)$，称图 $G$ 是奇 $k$-边可着色的。除了两个分别奇 $5$-边可着色和奇 $6$-边可着色的特例外，其余连通无环图均是奇 $4$-边可着色的，且其中一个颜色类的大小可缩减至 $\leq2$。此外，有猜想认为总是可以实现具有大小至多为 $1$ 的颜色类的奇 $4$-边着色。Atanasov 等人 (2016) 根据 $\chi_{o}'(G)\leq4$ 的值对亚三次图类进行了刻画。在本文中，我们将他们的结果推广为根据奇色数指数的值对所有奇图的细分进行刻画。这个更大的类 $\mathcal{S}$ 具有特殊意义，因为它收集了所有非奇图的“最小实例”。作为主要结果的铺垫，我们证明了每个需要最多四种颜色的连通图 $G\in \mathcal{S}$，在移除某条边后变为奇 $3$-边可着色的。因此，我们通过证明该猜想对所有奇图的细分成立，为上述猜想提供了支持。本文最后提出了几个可供进一步研究的问题。