平面图的奇和着色

图$G$的一个着色是一个映射$f:V(G)\to \mathbb{Z}^+$，使得对所有$vw\in E(G)$有$f(v)\ne f(w)$。着色$f$是一个奇和着色，如果对每个顶点$v\in V(G)$，$\sum_{w\in N[v]}f(w)$是奇数。图$G$的奇和色数，记为$\chi_{os}(G)$，是$G$的奇和着色中使用的最小颜色数（即值域的最小大小）。Caro, Petruševski和Škrekovski证明了，除其他结果外，$\chi_{os}(G)$对每个有限图$G$是良定义的，并且实际上$\chi_{os}(G)\le 2\chi(G)$。因此，对每个平面图$G$有$\chi_{os}(G)\le 8$（由四色定理），对每个无三角形平面图$G$有$\chi_{os}(G)\le 6$（由Grötzsch定理），对每个二部图有$\chi_{os}(G)\le 4$。Caro等人问，对每个偶数$\Delta\ge 4$，是否存在$g_{\Delta}$使得如果$G$是最大度$\Delta$且围长至少$g_{\Delta}$的平面图，则$\chi_{os}(G)\le 5$。他们还问，对每个偶数$\Delta\ge 4$，是否存在$g_{\Delta}$使得如果$G$是最大度$\Delta$且围长至少$g_{\Delta}$的平面二部图，则$\chi_{os}(G)\le 3$。我们对这两个问题都给出了否定答案。我们还反驳了他们提出的一个猜想，解决了他们提出的另一个问题，并在另一个问题上取得了进展。