平面图的加法着色

图 $G$ 的\emph{加法着色}是指将正整数 $\{1,2,...,k\}$ 分配给 $G$ 的顶点，使得对于任意两个相邻顶点，其邻点所分配数字之和互不相同。存在 $G$ 的加法着色所需的最小 $k$ 值记为 $\eta (G)$。我们证明了对于任意平面图 $G$，均有 $\eta (G)\leqslant 468$。这一结果改进了 Norin 此前给出的界 $\eta (G)\leqslant 5544$。证明过程使用了组合零点定理（Combinatorial Nullstellensatz）以及平面超图的着色数。我们还证明了对于 3-可着色平面图有 $\eta (G)\leqslant 36$，对于围长至少为 13 的平面图有 $\eta (G)\leqslant 4$。在该问题的群论版本中，我们展示了对于每个 $r\geqslant 2$，均存在一个 $r$-色图 $G_{r}$，其无法由任何阶为 $r$ 的 Abel 群中的元素进行加法着色。