稀疏图类的 $t$-色调色数

对于图 $G$ 和 $t,k\in\mathbb{Z}^+$，$G$ 的一个 \emph{$t$-色调 $k$-染色} 是一个函数 $f:V(G)\rightarrow \binom{[k]}{t}$，使得对所有不同的 $v,w \in V(G)$ 有 $|f(v)\cap f(w)| < d(v,w)$。$G$ 的 \emph{$t$-色调色数} 记为 $\tau_t(G)$，是使得 $G$ 可 $t$-色调 $k$-染色的最小 $k$。对于较小的 $t$ 值，我们证明了各类稀疏图的 $t$-色调色数的尖锐或近乎尖锐的上界。特别地，当 $\textrm{mad}(G) < 12/5$ 时我们精确确定了 $\tau_2(G)$，并在 $G$ 为外平面图时将一个加性常数内的 $\tau_2(G)$ 限定。当 $t\in\{3,4,5\}$ 时，我们也精确确定了 $\tau_t(C_n)$。