图$t$-音着色的新结果

$G$的$t$-音$k$-着色为$G$的每个顶点分配一个来自$\{1,..., k\}$的包含$t$种颜色的集合，使得距离为$d$的顶点共享的公共颜色少于$d$种。$G$的\textit{$t$-音色数}，记为$\tau_t(G)$，是使得$G$具有$t$-音$k$-着色的最小$k$。Bickle和Phillips证明了始终有$\tau_2(G) \le [\Delta(G)]^2 + \Delta(G)$，但猜想实际上$\tau_2(G) \le 2\Delta(G) + 2$；我们在$\Delta(G) \le 3$时证实了这一猜想，并证明了始终有$\tau_2(G) \le \ceil{(2 + \sqrt{2})\Delta(G)}$。对于一般的$t$，我们证明了$\tau_t(G) \le (t^2+t)\Delta(G)$。最后，对于每个$t\ge 2$，我们证明了存在常数$c_1$和$c_2$，使得对于每棵树$T$，都有$c_1 \sqrt{\Delta(T)} \le \tau_t(T) \le c_2\sqrt{\Delta(T)}$。