关于图的广义多数边染色

图 $G$ 的 $\frac{1}{k}$-多数 $l$-边染色是指用 $l$ 种颜色对其边进行染色，使得对于每个颜色 $i$ 和 $G$ 的每个顶点 $v$，与 $v$ 关联的边中至多 $\frac{1}{k}$ 具有颜色 $i$。我们猜想，对于每个整数 $k\geq 2$，最小度 $\delta\geq k^2$ 的 each 图都是 $\frac{1}{k}$-多数 $(k+1)$-边可染的，并注意到这样的结果将是最佳可能的。对于 $k=2$ 此结论已知成立。我们通过以 $2k^2$ 替代 $k^2$ 证明了该猜想，从而支持了猜想，这确认了所猜想的 $\delta$ 最优下界的正确数量级。同时我们将先前基于直接概率方法得到的 $k^3\log k$ 阶的界进行了改进。由于该技术似乎无法用于进一步改进，我们采用了更直接的确定性非随机方法。我们还强化了我们的结果，特别是将 $2k^2$ 替换为 $(\frac{7}{4}+o(1))k^2$。最后，我们给出了 $k\leq 4$ 时猜想本身的证明，并完全解决了二部图族上的类似问题。