具有距离约束着色的图的普适性与极值性

图的 lambda 着色（或 $L(2,1)-$着色）是指为其顶点分配非负整数（最小分配为 $0$），使得相邻顶点所分配整数至少相差 2，且距离为 2 的顶点所分配整数互异。图 $G$ 的 lambda 色数（或 $\lambda$ 数）是指图 $G$ 所有可能 lambda 着色中最大分配正整数里的最小正整数。本文主要证明：每个 lambda 色数为 $t$ 的图都可嵌入到一个 lambda 色数也为 $t$、且其顶点集可划分为等大小颜色类的图中。进一步证明，若一个有 $n$ 个顶点、lambda 色数 $t\geq5$（其中 $n\geq t+1$）的图含有最多边数，则该图顶点集允许一个公平划分。对于这样的公平划分，每对子集 $(A,B)$ 之间有 $0$ 或 $\min\{|A|,|B|\}$ 条边（即该划分大致是一种“稀疏型”公平划分）。本文建立了一个分类结果，识别出所有含最多边数、有 $n$ 个顶点且 lambda 色数 $t\geq3$（其中 $n\geq t+1$）的可能图。该分类解决了 John P. Georges 与 David W. Mauro 二十多年前提出的一个问题。