图的可选性的一种细化

设 $k$ 为正整数，$\lambda=\{k_1, k_2, \ldots, k_q\}$ 是 $k$ 的一个划分，$G$ 是一个图。$G$ 的一个 $\lambda$-列表分配是 $G$ 的一个 $k$-列表分配 $L$，使得颜色集 $\cup_{v\in V(G)}L(v)$ 可划分为 $q$ 个子集 $C_1 \cup C_2 \ldots \cup C_q$，且对 $G$ 的每个顶点 $v$，有 $|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。我们说 $G$ 是 $\lambda$-可选着的，如果对于 $G$ 的每个 $\lambda$-列表分配 $L$，$G$ 是 $L$-可染色的。由定义可知，若 $\lambda =\{k\}$，则 $\lambda$-可选择的与 $k$-可选择的相同；若 $\lambda =\{1,1,\ldots, 1\}$，则 $\lambda$-可选择的等价于 $k$-可染色的。对于在细化意义下介于 $\{k\}$ 与 $\{1,1,\ldots, 1\}$ 之间的 $k$ 的其他划分，$\lambda$-可选择性揭示了图可染色的复杂层次结构。我们证明：对于 $k$ 的两个划分 $\lambda, \lambda'$，每个 $\lambda$-可选着的图都是 $\lambda'$-可选着的当且仅当 $\lambda'$ 是 $\lambda$ 的细化。接着我们聚焦于 $4$ 的划分下平面图的 $\lambda$-可选择性。提出了若干关于广义带符号平面图染色的猜想，并探索了这些猜想与平面图列表染色猜想之间的关系。特别地，证明了 K"{u}ndgen 和 Ramamurthi 关于平面图列表染色的猜想由“每个平面图是 $\{2,2\}$-可选着的”这一猜想推出，也由 M\'{a}\v{c}ajov\'{a}、Raspaud 和 \v{S}koviera 断言每个平面图是带符号 MRS-$4$-可染色的猜想推出，且 Kang 和 Steffen 断言每个平面图是带符号 KS-$4$-可染色的猜想推出每个平面图是 $\{1,1,2\}$-可选着的。