关于分裂图边染色与全染色的新的结果

分裂图是指其顶点集可划分为一个团和一个独立集的图。若连通图 $G$ 拥有一棵特殊的生成树，其中任意两个相邻顶点之间的距离至多为 $t$，则称其为 $t$-可容图。给定图 $G$，确定使 $G$ 为 $t$-可容的最小 $t$（即 $G$ 的拉伸指数，记为 $\sigma(G)$）是 $t$-可容问题的目标。分裂图是 $3$-可容的，并可划分为三个子类：具有 $\sigma=1, 2$ 或 $3$ 的分裂图。本文在处理分裂图染色问题时考虑了这一划分。Vizing 证明了任何图都可用 $\Delta$ 或 $\Delta+1$ 种颜色对其边染色，从而可分别归类为 1 类或 2 类。当边和顶点同时被染色时，即 $G$ 的全染色，猜想任何图都可用 $\Delta+1$ 或 $\Delta+2$ 种颜色进行全染色，从而可分别归类为 1 型或 2 型。这两种变体对分裂图而言仍未解决。本文利用上述分裂图的划分，考虑 $\sigma=2$ 的分裂图的边染色问题与全染色问题。对于此类图，我们刻画了 2 类与 2 型图，并提供了多项式时间算法来对任意 1 类或 1 型图进行染色。