基于复颜色四元数的随机 $\Delta$-边着色

本文探讨了将一种新的颜色交换代数方法应用于简单图的边着色。Vizing 定理指出，简单图 $G$ 的边着色需要 $\Delta$ 或 $\Delta+1$ 种颜色，其中 $\Delta$ 是 $G$ 的最大顶点度。Holyer 证明了，即使对于三次图，判定 $G$ 是否可 $\Delta$-边着色也是 {\bf NP}-完全的。通过引入复颜色的概念，我们证明了颜色交换操作遵循与四元数相同的乘法规则。一个初始的 $\Delta$-边着色图 $G$ 允许存在可变颜色边，这些边可以通过颜色交换来消除，其方式类似于求解线性方程组中的消元过程。如果所有变量都被消除并得到一个正常的 $\Delta$-边着色图，则问题得解。对于随机生成的图 $G$，我们证明了如果 $G$ 是可 $\Delta$-边着色的，我们的算法在 $O(\Delta|V||E|^5)$ 时间内以至少 1/2 的概率返回一个正常的 $\Delta$-边着色。否则，算法在多项式时间内停止并发出无解信号，这意味着 $G$ 的边色指数很可能等于 $\Delta+1$。本文提出的边着色算法的动画已发布在 YouTube http://www.youtube.com/watch?v=KMnj4UMYl7k。