确定性分布式 $(\Delta + o(\Delta))$-边着色及有界多样性图的顶点着色

我们在分布式消息传递模型中考虑着色问题。此前已知的确定性边着色算法至少使用 $(2\Delta - 1)$ 种颜色，尽管任何图都存在使用 $\Delta + 1$ 种颜色的边着色 [V64]。此外，此前已知的使用至多 $O(\Delta)$ 种颜色的确定性算法需要超对数时间 [B15,BE10,BE11,FHK15]。在本文中，我们为非常广泛的图族设计了仅使用 $\Delta + o(\Delta)$ 种颜色的确定性边着色算法。具体而言，只要稠密度为 $a = O(\Delta^{1 - \epsilon})$（其中常数 $\epsilon > 0$），我们的算法即可在多项式对数确定性时间内计算出此类着色。我们还针对非常广泛参数范围内的{一般图}设计了显著改进的确定性边着色算法。具体而言，对于范围 $[4\Delta, 2^{o(\log \Delta)} \cdot \Delta]$ 内的任意值 $\chi$，我们的 $\chi$-边着色算法的运行时间比此前已知的最佳 $\chi$-边着色算法更短。由于边着色等价于线图的{顶点着色}，我们的算法实际上更具一般性。我们的方法适用于{有界多样性}图族的顶点着色，该图族包含线图、超图的线图以及许多其他图。我们的结果是通过一种新技术获得的，该技术以特定方式连接顶点或边以减小团的大小。由此产生的结构，我们称之为{连接器}，其着色效率比原图更高。此外，着色类构成了更简单的子图，使用适当的连接器可以更高效地对其进行着色。因此，我们进行递归，直到获得足够简单的结构并直接着色。我们引入了几种类型的连接器，适用于各种场景。